רבי יהושפט בירדוגו נולד בעיר מכנאס במרוקו לאביו הגאון רבי יהודה ב"ר יוסף ברדוגו בעמח"ס מים עמוקים על התורה. רבי יהושפט הוא בנו בכורו של אביו. אחיו הוא הגאון ר' שלמה בירדוגו שנולד ביום שלישי ח' אב שנת התע"ח, ולימים נהיה לדומ"ץ בעיר מכנאס.
בשנת תס"ה איוותה נפשו של אביו הגאון בעמח"ס מים עמוקים זצ"ל לעלות לארץ הקודש יחד עם עמיתו הלא הוא מורנו ורבנו גאון ישראל וקדושו רבי חיים בן עטר בעל ה"אור החיים" הקדוש זיע"א, אולם בני העיר מכנאס ורבניה לא נתנו לו לעוזבם ובנוסף הכתירוהו עליהם לרבנות בגיל 21 שנים. רבי יהודה לא האריך ימים ונפטר בשבתו על כסא מלכותו במכנאס בגיל 50 שנה לערך.
כשש שנים לאחר פטירת אביו, בשנת תק"י מילא הגאון רבינו יהושפט בירדוגו את חלומו של אביו זצ"ל, וזכה ועלה לארץ הקודש יחד עם בנו רבי יהודה (הקרוי על שם אביו) ואף העלה עימו ארצה את חיבורי אביו הגאון זצ"ל. לעומתו, אחיו ר' שלמה נותר במכנאס, ולימים אף נתמנה לרבנות בעיר.
עם עלותו של רבינו רבי יהושפט לארץ הקודש, ישב תחילה בעיה"ק טבריה, ולאחר מכן נתמנה לאחד מחכמי ורבני צפת, ובשנת התקכ"ז הוא חתום עם יתר רבני צפת על איגרת שדרו"ת להרב יוסף בנבנישתי.
לאחר מכן נתמנה למנהיג ומורה הוראה בכפר דיר אל קמר שבהרי השוף בלבנון ונמצא חתום על עדות בעניין עגונה כאב"ד בעיר דיר אל קמר יע"א בחודש ניסן התקל"ז יחד עם בית דינו ר' מרדכי דאנא ור' שלמה הכהן (עיין שו"ת גדולת מרדכי גלנטי סי' ט"ו).
בנו של רבינו, ר' יהודה בירדוגו זצ"ל חזר ככל הנראה לטבריה ובשנת תק"ן חתום עם רבני טבריה לאגרת שדרו"ת להרה"ג רבי יהודה סגרי לערי המערב (עיין טוב רואי לכמהר"י ילוז זצ"ל).